Çarpan Ağacı ile Asal Çarpanlara Ayırma
Bir sayıyı yazın; çarpan ağacı en küçük asal bölenden başlayarak dallanır, yapraklarda asal çarpanlar kalır. İkinci bir sayı yazarsanız iki sayının ortak bölenleri ve ortak katları da listelenir.
Kendisinden ve 1’den başka böleni olmayan, 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Asal olmayan her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Bu çarpıma sayının asal çarpanları denir.
6. sınıf8. sınıfMAT.6.1.1MAT.6.1.3M.8.1.1.1M.8.1.1.3Ücretsiz · üyeliksiz
Ücretsizdir, üyelik gerekmez. Akıllı tahtada, bilgisayarda ve telefonda çalışır. Daha çok araç ve geometri için Geometri Tahtası.
Nasıl kullanılır?
- “Sayı” kutusuna 2 ile 1 000 000 arasında bir doğal sayı yazın.
- Ağaç kendiliğinden çizilir: her dalda sayı, en küçük asal böleni ile bölümüne ayrılır.
- Altta sayının asal çarpanlarının üslü yazılışını ve bütün bölenlerini görün.
- İsterseniz “İkinci sayı” kutusunu doldurun; ortak bölenler, ortak katlar ve iki sayının aralarında asal olup olmadığı yazılır.
Kısaca Çarpan Ağacı
Kendisinden ve 1’den başka böleni olmayan, 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Asal olmayan her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Bu çarpıma sayının asal çarpanları denir.
Çarpan ağacında sayı iki çarpana ayrılır. Asal olan çarpan yaprak olarak kalır, asal olmayan çarpan yeniden ayrılır. Hangi çarpanla başlanırsa başlansın yapraklarda aynı asal sayılar çıkar; yalnız sıraları değişebilir.
6. sınıfta iki sayının ortak bölenleri ve ortak katları çizim, tablo ve sayı doğrusuyla incelenir. Ortak böleni yalnız 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir. 8. sınıfta bu kavramlar EBOB ve EKOK adıyla da kullanılır.
Birkaç örnek
360 = 2 · 180, 180 = 2 · 90, 90 = 2 · 45, 45 = 3 · 15, 15 = 3 · 5. Yapraklar 2, 2, 2, 3, 3 ve 5’tir: 360 = 23 · 32 · 5. 360’ın 24 böleni vardır.
24’ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. 36’nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. İkisinde de olanlar: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12. En büyüğü 12’dir.
8 = 23, 15 = 3 · 5. Ortak asal çarpanları yoktur; ortak bölenleri yalnız 1’dir. Bu yüzden 8 ile 15 aralarında asaldır.
Öğretim programındaki yeri
- a) Karşılaştığı durumlarda bir doğal sayının çarpan ve katlarına yönelik varsayımlarda bulunur.
- b) Varsayımına yönelik örnek durumların içerdiği ilişkileri inceleyerek bir doğal sayının çarpan ve katlarına ilişkin genellemeleri belirler.
- c) Elde ettiği genellemelerin varsayımını karşılayıp karşılamadığını çeşitli modellerle gösterir.
- ç) Varsayımı ile ilgili ulaştığı sonuca yönelik doğrulayabileceği matematiksel bir önermeyi sözel ya da sembolik temsil ile sunar.
- d) Farklı problemlerin pratik yoldan çözümüne yönelik oluşturduğu önermenin gerekçelerini sunar.
- e) Önermenin geçerliliğini destekleyen kapsayıcı örnekler verir.
- f) İşe koştuğu doğrulamanın benzer önermelere uygulanıp uygulanamayacağını değerlendirir.
- a) Bir doğal sayının asal olup olmadığını ve asal çarpanlarını belirler.
- b) Asal sayıların özelliklerini ve bir doğal sayı ile asal çarpanları arasındaki ilişkileri belirler.
Çarpan Ağacı hangi konularda kullanılır?
| Kod | Öğrenme çıktısı / kazanım | Yıllık planda |
|---|---|---|
| MAT.6.1.1 | Karşılaştığı problem durumlarında bir doğal sayının çarpan ve katlarına yönelik muhakeme yapabilme | — |
| MAT.6.1.3 | Bir doğal sayının asal olma durumunu ve asal çarpanlarını çözümleyebilme | — |
| M.8.1.1.1 | Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar | — |
| M.8.1.1.3 | Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler | — |
Çarpan Ağacı ile çözülebilecek örnek sorular
İstenen çarpanları ya da katları küçükten büyüğe, aralarına virgül koyarak yazınız.
8’in 40 ile 96 arasındaki katları:
Cevap: 48, 56, 64, 72, 80, 88
Alanı ve bir kenarı verilen dikdörtgenlerin diğer kenar uzunluğunu bulunuz.
Kenar uzunlukları birer doğal sayı olan bir dikdörtgenin alanı 86 birimkare, bir kenarının uzunluğu 2 birimdir. Buna göre, diğer kenarının uzunluğu kaç birimdir?
Cevap: 43
Bu sorular Ödev Hazırlayıcı’nın “Çarpanlar ve Katlar” konusundan alındı; aynı konudan cevap anahtarlı bir kâğıt da çıkarabilirsin.
Aynı konuda başka neler var?
- Ödev Hazırlayıcı: Çarpanlar ve Katlar6. sınıf ödev kâğıdı
Çarpan Ağacı ile birlikte kullanabileceğin oyun ve etkinlikler
- 6. Sınıf Asal Çarpan Ağacı OyunuOyun
- Çarpanlar ve Katlarİnteraktif araç
- 6. Sınıf Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar: XOX Matematik OyunuOyun
- Asal Çarpanlara Ayırmaİnteraktif araç
Sık sorulan sorular
Çarpan ağacına hangi sayıyla başlamalıyım?
İstediğiniz bir çarpanla başlayabilirsiniz. Araç en küçük asal bölenle başlar; siz 360’ı 10 · 36 diye ayırsanız da yapraklarda yine 2, 2, 2, 3, 3 ve 5 çıkar.
1 asal sayı mıdır?
Hayır. Asal sayıların tam iki böleni vardır: 1 ve kendisi. 1’in yalnız bir böleni olduğu için asal değildir.
Asal sayının çarpan ağacı nasıl olur?
Asal sayı ayrılamaz; ağaç tek yapraktan oluşur. Araç bu durumda “asal sayı” yazar.
Çarpan Ağacı hangi sınıflarda kullanılır?
6. sınıf, 8. sınıf. Bağlı öğrenme çıktıları: MAT.6.1.1, MAT.6.1.3, M.8.1.1.1, M.8.1.1.3.
Çarpan Ağacı konusundan ödev hazırlanabilir mi?
Evet. Ödev Hazırlayıcı’daki “Çarpanlar ve Katlar” konusundan cevap anahtarlı ödev kâğıdı hazırlanır.
Diğer interaktif araçlar
Kesir ModelleriOndalık Gösterim ve Basamak DeğeriKesri Ondalık Sayıya ÇevirmeBasamak Tablosu ve Sayıların OkunuşuZar AtYazı Tura AtÇark ÇevirBirim ÇevirmeGrafik ÇizmeAkış Şeması (Algoritma)Özdeşlikler ve Cebirsel İfadelerin ÇarpımıAlan Modeli ile ÇarpmaAsal Çarpanlara AyırmaBölünebilme KurallarıÇarpanlar ve KatlarCebir KarolarıÇivili Tahta (Geometri Tahtası)Dağılma ÖzelliğiEşitsizlik Sayı Doğrusuİşlem ÖnceliğiKarekökKesirlerle Bölme İşlemiKesirlerle Çarpma İşlemiDenk KesirlerKesir, Ondalık ve Yüzde GösterimleriKesirleri Karşılaştırma ve SıralamaKesirlerle Toplama ve ÇıkarmaGrafikler: Sıklık Tablosu, Sütun ve Daire GrafiğiÖteleme ve YansımaKoordinat SistemiBirim Küplerle Yapı (3B)Ortalama, Ortanca, Tepe DeğerOlasılık DeneyleriOran ve OrantıOrtak Katlar ve Ortak BölenlerÖrüntülerRasyonel Sayılar Sayı DoğrusuBoncuklu Sayı ÇerçevesiŞerit Modeli ile Problem ÇözmeTam Sayılarla Çarpma ve BölmeTam Sayılarla Toplama ve ÇıkarmaTam Sayılarla İşlemlerEşitlik ve Denklem TerazisiÜslü İfadelerYüzde Hesaplama